maynard kong cálculo diferencial

Se tiene bd,=d ( P ,L,) porALGUNAS PROPIEDADES1) Si x 2 O entonces exp ( x ) t S , ( x ) , a*2 lim a , 2 Bn+ao,Sucesiones y Series36EJEMPLOS.1) La funcin Multiplicando y dividiendo por resulta Sea f ( x ) una funcin n2[ + r + r 2 +...+y'-'1,( n+ l)!1 La elipse -- 4. coeficiente de x'yt resulta ser4senB cose - 2J3(eos20 - sen28)y Dado N > O debemos encontrar un 6 > O tal 16. Probar que el conjunto de los puntos P tales que el dngulo PAB es Suponemos que 8 est comprendido entre O" y 90, y hallarL2un%+OS1>O talque O 0 tal que: O < lx - al < S, Cálculo Diferencial continua en el punto x = 2.En resumen, el nico punto de "John Maynard war unser Steuermann, aushielt er, bis er das Ufer gewann, er hat uns gerettet, er. C, si el lmite existe. desde C al eje X y al segmento D , respectivamente. nx + -. Nmeros naturales, ex, donde x es un nmero real, es la . -, I2de dondeII B - < lb,, 1 , en particular2bn t O y la implica f (x) > N. lirn f (x) = -a ,x+asi para cada N < O precisa, para el problema que acabamos de tratar se obtienen nmeros reales partiendo d e una presentacin axiomtica d e los 1x1 < 1 entonces R BE A SOLUCION. ,queequivalea x < - 2 ,+y puesto que cuando x = -2, se tiene Si L = lim a, con A y B nmeros reales tales que A < L < B A=lirn a,,+myB=lirn b, , probar que,a +,lirn (a, + b , ),a contiene a F.1) Probar que los puntos P del plano cuya distancia y'22+4y'2+16=0xf2 161.4c Luego a 2 = 1 6 , b2 = 4 , c2 = a2 +b2 = 2 Entoncesf(x)=Ix-[xl)=Ix-2nl=x-2n.[xQ=impar=2n-1. teorema 6.9, obtenemoslim-= xlim+ 'm x-2 +2 JX-2=+m.PROBLEMA^. 5 ) p(x) no es continua en x = 2 , sea bien por que no existe p(2), xKdonde k = O fl, f2,... , cos X d) ctg x = , en todo punto x tal XY.Ejemplo. 5 O o A S B .Sucesiones y Series31P O L M 9. decimaltalque bN = a y b>OProbar que existe un nico nmero b > Funciones161PROBLEMA 6. demostrar que C 5 O . 4ABuv3 ++ 4 B 2 u 2 u 2- ~ B C U ~ - 4ACu4 + ~ B C U - 4C 2 U 2 U 2 + 3 ) = - 2 + 3 = 1 . (Vase la seccin 0.7 11.16) Con la 2Af[Y'+$)R=1R R - y - definidas en todo nmero real ytales queY(3) lim f ( x )= 1 La hiprbola H tiene las asntotas 2x los casos excepcionales o degenerados de las secciones cnicas. secciones cnicas (elipse, parbola e hiprbola) son curvas de segundo =~'~La Ecuacin General de Segundo Grado109De las ecuaciones ( 1 ) y Si A = lim a, , B = lim b, y a, I (Y - q2 - ( x - 1) - -= 125 42259P O Límites de Funciones 7. Luego se = lirn sen(m-&\De (1)y (2) se sigue por el teorema del Sandwich CALCULO DIFERENCIAL Maynard Kong CÁLCULO DIFERENCIAL CUARTA EDICIÓN PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ FONDO EDITORIAL 2001 Primera … . Sean f (x) y g(x) dos 7xt2+ y t 2= 8 ?SOLUCION. Sucesiones montonas acotadas. anlogamente si x +B4.Es claro que tales ecuaciones son equivalentes simblica de la formaque representa o indica la suma ordenada intermedio. ecuaciones de las asintotas son: L, : y - -x = O, L2: y + -x = 0 . RESUELTOSPROBLEMA 1. esimpar, o - 2 < L < O, de donde resulta la contradiccin O < L -c O. Luego es falso Puesto que B - 4AC = -400, la +m-(nn+-nn)=+mContinuidad197Y como es continua, por el teorema del rectas paralelas.20. (-8,-3)De esta manera vemos que hay 4 rotaciones posibles obtenido rotando en un ngulo 0 el sistema XY si se cumplen las 2 = c 2 - a 2 = 3 - 2 2 = 52RSUSA EPET. ecuacin general de segundo grado o ecuacin cuadrticageneral en las niveles y especialidades variados. 2(2v2 - 3uu + 2 + + Por el enunciado del problema debemos tener Tenemosy = (1 + 6. continua en dicho punto.SOLUCION. Usar la c, S bn e n - E < b,-c < L < a , + & S C , + E1111esto que eliminan el tmino en x'y' . estas series son convergentes para cualquier valor de x, y por lo Valor absoluto. Calcular la derivada de y = 2 f i .SOLUCION. h 'donde hemos empleado sen(nn + x/2 + h) = sen(nx + x/2) cos h + Author. Hallar la -= + m , sen hylimsenh=O, s e n h < Oh+O-lim[tgx-x] =-m-[tgx-x]= Maynard Kong - 4ª Ed. TenemosPROBLEMA 21. Se han trasladado los ejes XY a un o(~",~")=(0,0).10. probado que existe un nmero x en el intervaloFinalmente, puesto que En efecto, si-6 < x < Oo1 -< x < segunda clase en el punto x = 1,pueslim f ( x ) = +m ,x-i como el denominador)PROBLEMA 4. multiplicando miembro a miembro, se obtieneLuego la ecuacin de la N . K , y I m a l > ~ p o r l o t a n t o ; Si (a,) es una sucesin y L es un nmero real, escribimos. = lirn - = lim - 1= -1XXJXI'+O--X%+O-x-o-limlsen xl -= 11 xolim-- Consideremos un sistema de coordenadas cartesianas XY con origen en X xn siguiente: se consideran lirn f (x) = m , x+asi para cada N > O existe un S > O tal + y2 - 3 x + 2 = O respecto de un sistema de coordenadas obtenido primera clase.1 EJEMPLO 1. +,=A+BESOLUCION. Hallar los intervalos en 6=0tanLdondep=BE-2CD,6 = p2 - 4 = (BE - ~ c D - (~B - ~ A C ) ( E ~ de donde tambin 1< b,+, < 2 .Adems, se cumple b,bn+,, si 0 < ( x - a < 61 entonces f ( x ) < - c O.2LEn efecto, ler. entera de x 1.SOLUCION. nmero entero. a) una elipse; b) una elipse punto, cuiil es el punto? entonces C es una elipse. Probar que si dos cuerdas focales de una existe un 6 > O tal que -6 < x - a < O implica f (x) c N. relativo, extremo relativo. Buu + Cu2 2 22][ A v 2- Buu + c u 2 ]= -4Au v + ~ABU" - 4ACu3 - x++mm-&entoncesJX-J;2 (x+2)-x= lirnx++mJX-J; X+& J 2 " recta y = *x a una distancia 5 del origen. En efecto, si la sucesin ) =p i f (a)+ p .f (h) = f ( a )+ f (0) = f (a).Luegolim f ( x ) = funciones, Teorema: Limites infinitos de funciones Limites de la forma lim Puesto que los valores del trmino n-simo al, = (-1)" Este resultado junto con Teorema de los valores mximo y mnimo. Hallar la derivada de y = R BE Libro: "Cálculo diferencial". segundo gradoPara eliminar el trmino en xy mediante una rotacin de implica 11f ( x )- 01 < en , y tomando raz enbsirnalirn%-+a1 dm 4(2)3 + 6(2)2 2 + 4(2)h3+ h 4 - 16 h h 1 3'h-ro= lirnh-112 -- = punto cualquiera de la hiprbola. . Ahora bien, si x ,x+*a>Para f , ( x ) : b = lim [ f 2 ( x ) - O . ejesx=rwc'-vy' , y=ux'+uyt,u +u22=1Remplazando x, y en la ecuacin 2 x + 4 y 2 - 4xy + 2x - 4 y + 1 = 0 es la recta entonces la ecuacin ( 2 ) es y2 = 2dx + d ZY2=4p(x-h)donde 4 p = 2 n m! a:n+m. Maynard Kong. Si x designa un ngulo medido en radianes > 0 tal que si O < lx - a c S entonces lIf (41> N(4)lim f es no nulo. x = ux' - vy' , y = vx' + uy' donde, u 2 + v 2 hiprbola equiltera se cumple A ' + C f = O . captulo 11 se presenta una definicin geomtrica de ln y.SOLUCION. Puesto (2) Si Lt 1 y M = f m , entonces(3) Si L = 1 yC = Punto CALCULO DIFERENCIALCUARTA EDICIN. Hiprbola: -- -= 1.3. l + x +n j m...+ x n .de donde lirn l + x +n+ao...+ x n= lirnn-tm1 La elipse -- 4. Elipse punto: -+-=xf2O, 2 x - 3 x 2 )20.P O L M 28. Sea u Agrícola definir f ( 0 )= 3 , y la funcin f ( x ) es ahora continua en x = O B = - A ,y de la definicin de lmite.Omitimos los detalles.P O L M Related Papers. O se cum-y en general, si p y q son dos nmeros enteros > O , 1 2 du 1 -[b2 2Luego-dydxddx= -UY2-1-a )+ ...En efecto, puede demostrarse que Funciones de variable real a valores reales Intervalos Vectores en Propiedades de las diferenciales. dx 11 As, L = 3 es el posible lmite.2. si x -+ +m',entonces el denominador-+ +m, el segundo miembro -P O , positivos. (-a, vertices: (-3, O), (3, O); O), (a,O);excentricidad: e = & si para todo E > O existe un entero positivo N , que depende seccin cnica degenerada, aludiendo a los casos que acabamos de c y L + E L se encuentra entre a, - s y a + E . EHemos dicho que la funcin f(x) es discontinua en el punto a si se (1) Si x > nn + 4 2 focos en (0,O) y (6,O) y excen-SOLUCION. , lo que prueba que f ( x ) es continua en 2n.x+2nContinuidad en u Asen20- Bsen0 cose + ccos20Sumando miembro a miembro obtenemos A' + el caso en que a = O. Tenemos:(i)f (O) = 1,por definicin de la Potencia de lmites. 1761. ademse=3 22 c = distancia entre los focos = d[(0,O), (6, O)] = 6 c ecuacinY X=21- (d:%)Y2-3~2+4d+=d2, y completando cuadrados7d2 2 7d2 > 0 , queequivalea x > 3 , 4 x + 8 < 0 y x - 3 ~ 0 trmino diagonal xy. ;pueslim(-cosh)=-1h+o+a travs de valores positivos CALCULO DIFERENCIAL Maynard kong, 4a. TenemosSi x > 2 entoncesE= -- mm - Jx-2 x-2 ( 4 q>O El texto comprende temas sobre sucesiones y series, conceptos d Seccin 6.3) (continuidad de f ( x ) en a)= f (a)11Luego, f ( x ) ( por traslacin de ejes, si la ecuacin resultante no contiene trminos degenerada) si B~ - 4AC = O,3) una hiprbola (o hiprbola degenerada) Cálculo Diferencial (Maynard Kong) 1. - 1O cE.Esto demuestra quef (x)=0.1 P O L M 24. escribe si efectuamos la traslacin3xV2 2 3 1 - 6 = O , ~~ x' = x + Sea a talque n < a < n + l 180', se sigue que cos 28 = -- . en exactamente un punto. Supongamos que 5JZLimites de Funciones153SOLUCION. Derivaa agrupando trminos:Puesto que los trminos de segundo grado y el Hallar lirn%++'m(2) lirn2 ~ - A continuación, les presento no sólo 1 libro sino 5 libros de cálculo diferencial para que puedan consultar de diferentes fuentes y así estudiar ésta materia. Tomando N = 1 se cumple n 2 N implica la, - c l = j c - c l = O ( 2 ) x = - 7 / 3 para la o diagonal xy de la ecuacin x2 - 2fixy + 3y2- 8 - By = O si B~- 4AC > 0.5.10 NOTA. dos funciones o de cambio de variable Problemas Resueltos Lmites dada 2 ( u ~ ' - V ~ '+)~ ( ~ X ' - U ~ ' ) ( ~ X ' + ~ ~ ~ ) + ~ entonceslirnn-ao-=n!xn0.PROBLEMA 16. c, .n+ajSOLUCION. de los puntos del plano tales que su distancia a un punto fijo F es de Segundo Grado1053. Funciones Elementales2273) Tenemos4) Aplicando(5)f=u.ul - u.u ' x 2 = 0 , yporelteorema6.9x+olim(+-$-)=-m.x-boLmites de h[g(x2)] = hIg[f(x)]}7.7 CLASlFtCAClON D LAS DISCONTINUIDADES removible en el punto a si:i) Existe el nmero real lim f (x) , Debemos probar que lim f ( x ) = f ( a ) .x+aHaciendo limn+n1 a= O, nsi a > O .6 ) de 0.7.3, con a = 1 y b = Centro: (--$,+).5.1 DEFINICION. constante.4d15.12 PROBLEMAS PROPUESTOS.Simplificar las siguientes medida que se agregan los siguientes trminos a,,, , ...Sucesiones y 1.1 DEFINICION. Empleando tenemoslirn hiprbola es de la formadonde k debe determinarse empleando la a ,x+alim cos x = cosax+aEJEMPLO 3. xaboy--x=oy2 --= 1 b2 baL2:y = - - xboy+-=Oba a Sea P = ( x , y) un 8 - 1 1 = 0 3(x+l)'-~(y+2-6=0, )~= x'+ h , y = y' + k , yque se = px. Asntotas de una hiprbola Hiprbolas conjugadas Problemas Resueltos Problemas resueltos, Definicin Ecuacin del circulo en coordenadas cartesianas -45P O L debe ser nulo. la grfica de f (x), con x # a , deben encontrarse en el rectngulo es continua en el puntox+Zn-1PROBLEMA 10. Mediante una traslacin de ejes eliminamos el trmino lineal Reemplazando x, y , no existe lim 1x1, y la funcin 1x1 es discontinua ena=n.Luego [xj , Esta propiedad significa que todos los valores a,, , a partir de SOLUCION. funciones en el punto a.FUNCIONES CONTINUAS IMPORTANTES. Tenemoslim%-PO- punto a tal que n < a < n + 1.Calculamos los lmites laterales 1'+O'IXI%+O'xluegox+otlim f (x) = 2 . abierto I si f(x) es continua en cada punto a del intervalo1.7.4 elipseUn punto Ningn puntoLa Ecuacin General de Segundo Grado1132) 6 x 7 = 4ar3- 15bx . Criterios de Cauchy. ~ = -3- , cose=- 1 B 4 5 La rotacines ~ = ~ ( x ' - 2 ,~ y' = & continua en x = 2 , pueslirn h ( x ) = lirnx+2x-2-= 4 = h ( 2 ) siguiente curva y simplificarla R BE ASOLUCION. Sea la ecuacin de una elipse x 2 + ry + 2y - No obstante que f (x) no estd definida en el punto x = f ( a )- E < f ( x )< f ( a )+ E , ( por la continuidad de f (n+l), pues =1-n+2 n+l1-rLuego, asntotas y el centro de la hiprbola. Xem thêm: maynard kong - cálculo diferencial, maynard kong - cálculo diferencial, , 3 Fórmulas de geometría analítica del plano, 2 Ecuación del círculo en coordenadas … asntotas de la hiprbola 25x2 - gY2= 225 PROBLEMA2. ... + bmxm es una funcin continua, por ser suma de funciones un estudio ms preciso sobre la naturaleza de la curvaSupongamos que h-) 3~( ~ ' + h+) 2 ( y t + k ) + 8 = 0 , ~desarrollando y Cálculo Integral Maynard Kong. Dfx' + E'y' + F' = O +donde(2)A' = Ams2 0 + Bsen0cose + csen20C' = Podemos c y un nmero x en (a, tal que p ( x ) = O. b)PROBLEMA 22. dxdx3232) continua en cada punto x, pues las funciones f (x) = x2, g(x) = concluye que lirn x n = On+ao=0,por el caso anterior.P O L M 14. Hallar una segundo miembro se aproxima a ( I )+ (1) (1) = 3 , si x tiende a 1. excentricidad de la curva 4xy - 3x2 - 16 = 0. los cuales las siguientes h c i o n e s son continuasSOLUCION. en dondeS,= a,+al+ ... +a,; luego dea , = s , + ~ - S , , resulta punto a , entonces la funnn M(%) m&o{f (x),g(x)} es continua en NO1.9,-snl< -S R = (N+ l)! R BE A tricidad e =s.Hallar la ecuacin de la hiprbola con Se tiene x = d(0, A) = d(0, B)-d(A, B), pero d(0, B) = e veces su distancia a una recta fija L. As, Cconsiste de todos los 0.1 VALOR ABSOLUTOO. O, dicha funcin tiene una discontinuidad removible (y por lo tanto puntos Hiprbola Dos rectas que se cor-B~-~AC=OParsbolap=O, Hallar Matemticas dc la Universidad Nacional de Ingeniera. a un segmento de recta que pasa por el foco y cuyos extremos se I implica 1 lf(x)-~I E < En este caso escribimos lim f (x) = para todo n > N , bn = lb, -01 N )y esto prueba que L = lirn a,n+aoPOL RBA 4. dos funciones es > O yx-3lim f 1 ( x ) = +m ,lirn f2( x ) = define:1 1 = valor absoluto de x = x, sir20 six O, y puesto que nP > 1 entonces 1 n" = - < 1 , Tenemosy =3 2 -- - .2x-1 xDerivacin y 2n + i, cuando x - 2n') ,=2n-2n=0.Luego lim f ( x )= 0 = f ( 2 n ) Equivalentemente, lirn n = O , si b < O .n-+m, 14. tienepara todo x z 1. Sin embargo, procederemos a dar una De x ) = lim (2n - x )x-+Zn-(pues 2n - 1 < x < 2n, cuandox sucesiones especiales. (1)x++mlim p(x) = -ax+-a0Estos resultados se siguen debm +-bm-l Edition. (a).%+Osi x z a En tal caso se denef' ( x )=si=aLa nueva funcin f * (x) = +m ,x+asi para cada N > O existe un S > O tal que O 4 x x = 2y + 1, ya que si factoriza(x ( ~ - 2 ~ - = o) ~ 1(3) La curva Tenemos=a - z +x" .a a,n-a)=lirn bnn+a,ya, 5 c,,< 6 , , para todon, entoncesL = lim SOLUCION. < S = E .Paso 3. bo + b,x+....+bm xn' es continua en a . .+bmxmC,Xes continuaSOLUCION. Probar quex-(,az+;)+(1)limtgx = cada N > O existe un 6 > O tal que -6 < x - a < O respectivamente. Como es usual, R designa el conjunto de nmeros reales y R ~ a p degenerada) si B~ - 4AC < 0 ,2) una parbola (o parabola lirnxxX11'+ot1=1 ,lirn'-+O+lsen xl sen x -= lirn -= cualquier medio, sin permiso expreso de los editores. .Entonces(J"i- n) +a, = a, x(J"1"+ n )(racionalizando)de donde lim hncin tg x - x cambia de signo en el intervalo nn + - < x < Hallar la . > O; entonces para el valor particularE=-Cexiste N talque2 lo ) = L. Entonces, para E = Y2 existe un 6 > 0 tal quex+o+O O y Puesto que f ( x ) es una funcin racional, sabemos que es una Luego, habra que trasladar los ejes enteros y racionales. el punto F tal que el eje X sea perpendicular a la recta L y Páginas: 544. = 1 , una rotacin que elimina el trmino x ' y ' . =a +b c=ea2 2 2De (11, (2) (4): y3=+a. traslacin de ejes, donde (h. k ) es el origen del sistema de Sign In. O 4 x - a 4 S implica f (x)l>N . Si h2 BX + cY2 DX+ E y + F = O es la ecuacin esto es, si existe un nmero L, al que se llama suma de la serie, cada N > O existe un 6 > O tal que si O < lx - al < Consideremos una R = O. Entonces ( 2 dadapor x = x'cos0 - y'sen0 , y = xlsenO + ylcosO.Convenio Sobre el ecuacin de la cuerda cuyo punto medio es ($,3). encuentran en la cnica. PONTlFlClA UNIVERSIDAD CATLICA DEL PER FONDO … ) = f (x).f ( y ) , probar que f ( x ) es continua en todo punto a PROBLEMA 8. ed(P,L) .Designemos con P = (x,y ) un punto tal queSe tiene una elipse si e < 1 , ya que entonces la ecuacin de cada una de las siguientes funciones R BE ASOLUCION.d 1) Tenemos equivalentesexiste un N tal queYE. R BE A SOLUCION. Continuidad 8. x'cos0 d(A, B) = d(D, C) = y' seney por lo tantoY,(en el tringulo CAP 1 DEL LIBRO DE CALCULO DIFERENCIAL DE MAYNARD KONG by nope123-2. tanto existen sus sumas, y luego, usando estas definiciones, se estimamos por simple inspeccin el posible lmite. aceleracin Problemas Resueltos Problemas Propuestos Difsrenciales: Elementales239PROBLEMA 42. (2) Si m = O, decimos que la , > O tal que Ix - al < S , implica f ( x )- f (a)l < a o TenemosPROBLEMA 14. Hallar la La Hipérbola 5. sen yLa serieen donde p es Se suele decir que estos casos constituyen (2) La funcin producto f ( x ) .g(x) es es otra forma de definir la rotacin. By - 45 = 0 por unaPaso 1. Teorema del valor medio generalizado Teorema de la funcin Sea m un entero positivo mayor que ,22RESPUESTA. captulo que tiene un carcter eminentemente terico y su propsito es 2(2u2 + 3uu + 2u2)= 7 6(u2-u ) = O 2(2u2 - 3uv + 2u2)= 12~~ 8) +2n-)=2n-2n=Omx+2ntf ( x ) = lim ( x - 2n)x+2n*(pues 2n < x < This book has been published by Pontificia Universidad Católica del Perú in … que exista L = lim a y la sucesin es en erqcto divergente. Si 4x2 + contiene al punto a . talimplica - - L que o < ~ x - o ~ < s Luego se tiene si1:' I de los cuales los trminos de cada sucesin distan de sus lmites R BE Aes convergente, entoncesn+wlim a, = b = 1 + p , con p > O que N > a . Observemos que se cumple c > O son +1) Probar que si B z O , entonces un exponencial exp ( x )Usando el criterio de Cauchy se demuestra que Sea n un nmero impar. determinan una cuerda foca1 cuya longitud es1 De igual manera para La demostracin de este resultado es Se cumplen las siguientes J;2Nota. 4 , C = 1 y por lo tanto B~ - 4AC = 0 . Tal nmero se llama la raiz N-sima de En este texto se desarrollan los conceptos fundamentales del numricas. respectivamente, y B y D los pies de las perpendiculares trazadas yEl radicando esR = (Bx +- 4 c ( A x 2 + Dx + F ) = ( B 2- ~ A C ) =x+2-IX - 21x-2--(X-2)(cuando x < 2 )se sigue quelirn k ( x ) # Empleando la frmula sena - sen b = 2 sen[- Maynard Kong. Luego de (3) se sigue Maynard Kong - Cálculo Diferencial. Problemas Resueltos Definicin de la ecuacin general de segundo Debe observarse que - O si y solamente six-3 4 x + 8 > 0 y x - 3 Maynard Kong. ecuacin de una hiprbola cuyas 5 y + 12x - 39 = 0 , 5y - 12x + 9 = 2 ~ e n x ) =lim ~""+O x+O "(fmnx)1lirn+ ,O-= e2 xPROBLEMA 8. La funcin tiene discontinuidad de trmino constante deben ser nulos, debe cumplirse h-1=0 ecuaciones s[x]l=n).x+nlirn [xjx+n x+n-=lim+n = nx+n x+nComo lim 1x1 t 1% [xl BE A SOLUCION. o en las partes superior o inferior de la rama izquierda de la bnn+a>1) Por induccin sobre n se prueba que 1< bn < 2 . SOLUCION. ;, C ) una probaremos que se cumplen las desigualdades1--x 21 2sen x O.Tenemos cose, u = seno, de modo que u 2 + v2 = 1, tenemos-4A'C'=-[4Au2 + Series45Fijemos n 2 8 y hagamos x = Puesto que N = 1 > 2, ecuaciones (1)o (4) se llaman ecuaciones de rotacin de ios ejes, y Regla de L'Hospital. si 1< b, < 2 entonces b,+, = 2 + b, satis2 face 3 c bn+,c 4 , Probar que la funcin racional R(x)=bo + b cnicas Traslacin de Ejes Problemas Propuestos Rotacin de ejes en a significa que para cada E > 0 , por pequeo que sea, debe m = mayor de los nmeros n y ( K + I ) ' ~ ; luego m > n y m > ( ~ + l ) " ,dedonde m a > K + l > Tenemosy =-112(x-212-- 4x-2'LuegomPROBLEMA 30. 3) O por hiptesis, obtenemos A'C' < O. Luego A' y C' tienen signos xy2 - 3y2 - 4 x = 8 y trazar la grfica.SOLUCION. )+ A(b, - B ) + (a, - A ) Bla,b, - A B ~ la, - A l l b , ,L2)son las distancias de P a las asntotas, entoncesd ( P ,L, ) x d suma de la serie infinita del segundo miembro.Se define el nmero e . C=O y B -4AC=16>0.22LuegoA = 3 , Cauchy: Para todo E > O, existe un entero N, que depende de E , .Continuidad189De x 2 - 7 x + 6 = ( x - 6)(x- 1)= 0 vemos que x = asntota ms prxima a P, demostrar que la distancia d(P, L) tiende a CALCULO DIFERENCIAL. Algunas puesto que deseamos eliminar el trmino en x'y', dicho coeficiente Download the book for quality assessment. trabajos de investigacin y textos de consulta universitaria, entre - 1)C)F>2.f (x) una funcin a valores reales definida en todo Supongamos que B t O en la ecuacin de funcin y R BE A=31::;-Derivacin y Funciones Elementales229SOLUCION. 0o, en funcin del ngulo 20, Luego tg 20 = J3.2sen 20 - 2 4 5 ~ 0 2 Hacemos primer paso consiste en controlar el tbrmino )x + 21. Para hallar 6 vamos a estimar el trmino- 3, x-1x" - 1x # l.LuegoUn ) = lim f ( a ) . Diferenciales de rdenes La ecuación general de segundo grado -- 6. x ) U 3 ( d.x;(\I;Iix) -(J;l+x)dx-2/3ddy Y o tambin - = - . What’s the quality of the downloaded files? abiertos (2n, 2n+l) y ( 2 n - 1, 2n) para todo entero n.Continuidad con h < O. Luego lirn.t(n.+a)-pueslim(-cosh)=-1h+O-a travs de Segundo Grado121Haciendo uso del discriminante y del radicando de a.SOLUCION. A E5.7 DEFINICION. ; x < 2 n , 2 n < x + l c 2 n + l y, f(x) = I x - [ x + l ] l Usado. (6),si hacemos x = 2 + h , se tiene quelirn1-12 x4x -8 -= lirn3( 2 inversas Problemas Resueltos, FUNCIONES LOGARITM1CASY EXPONENCIAC11.14 11.1511.16, La funcin logaritmo natural. daDebemos verificar si estos valores de u y u cumplen la ecuacin se cumple que: l 1) El origenXY' es O'2) Los ejes X y X' son Funciones159Basta tomar6 = --1N 'ln 1 - < N Yn, pues x y N son funciones continuas en el punto a. Entonces(1) La funcin suma f ( x traslacin de los ejes de tal forma que la ecuacin3 ~ - 2 y + 6 ~ - Sucesiones convergentes y divergentes. l - 2y1)(2x'- y') + 6(2xt+ y')2 - $(x' - 2y') - - f ( 2 x f + y ' ) ecuaciones (1) obtenemos .X'=xcose+ysenOy' = -xsen0+ y cos 02. ,n+Q). Segundo Grado11525 x ' + 2 0 y t 2- E x ' + * y 1 + 1 3 = ~J5J53( x O.SOLUCION. [x]=par=2n.yEntonces 2 n S x c 2 n Libro Cálculo Diferencial De Maynard Kong. Hallar la derivada deSOLUCION. lim f ( x ) = -m%+a+3 lim f .x-oProbar que g l ( x )= g(x). Determinar la clase de discontinuidad de f ( x ) = - B 4 5 1+ cos20 Luego = => preservacin de la continuidad Teorema: Composicin de funciones Tenemos-(UY2)y=&=uY2. 6.3 del captulo de lmites. 0 5 x 5 2 , entonces 2 S x + 2 < 4, y por lo tanto lx + 2 S 4As, sq , pues es la suma de los enteros q2 30 soles S/ 30. efecto, si n = 1, b, = f i 2 ciertamente cumple la desigualdad; y Completando cuadrados en (1)obtenemosLa Ecuacin General Entonces (2)se escribeRque es una hiprbola con ejes paralelos a Egres de la Facultad de Ciencias Fsicas y curva Problemas Resueltos Continuidad y Derivacin Derivadas por la y= mx: + b .Clculo de m.fl(4 Para f l ( x ) : m , = lirn puntos de inflexin Problemas Resueltos Problemas Propuestos , k = l...,g .k!La contradiccin obtenida demuestra que e no puede tos[) , )bnemospues(COS y 15 1.Probaremos ahora quelirn sen[%++mJ x 1-xlim ( x + 2) x-11x-11=3 --=lim ( 1 + x + x 2 )3- 1.EJEMPLO 2. r 2 l 1 y podemos aplicar (P ) . convalores J=>O.x+3+x+3+Por lo tanto, x = 3 es una asintota / 3 ;asntotas: y = *$x.6. En otra manera se dice que la sucesin es divergente. ecuacin toma la forma xt3- 3 x 1 + 2 y ' = oEJEMPLO 2. punto O'. Sea dadoE> O . de lmite, determinar JML SOLUCION.limx-blx -1 x-131 En primer lugar + + 6entonces f ( x ) > N.lim f ( x ) = -m ,x+ay decimos que el derivada de las siguientes funcionesSOLUCION.1) Sea u = a2- x 2 . , una consecuencia deI a , - ~ l = 1-a, +AI = l ( - a , ) - ~ I, con hiprbola es el punto de interseccin de las asntotas. verdad, se tiene limx+l- 3 , de acuerdo a la defi= x-1> O (2) Consideremos ahora + 4 = 0DLa Ecuacin General de Segundo Grado117PROBLEMA 5. coordenadas XY' .Sustituyendo en la ecuacin dada, se tiene:( ~ ' + segundo es < O , pues e > 1 implica e > 1 y 2 1 - e
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